ai

1. 向量 #

1.1 为什么需要向量 #

计算机只能理解数字，但人类日常交流依赖文字、图片等抽象信息。向量的本质，就是把一段文字、一张图片或一个概念，变成一串有顺序的数字，让计算机能处理这些信息。大模型和 AI 应用常把向量称为 Embedding（嵌入向量），都是用数字来表达「含义」。
由于大模型内部只能进行加减乘除，无法直接理解汉字或英文单词，所以首先要把这些内容转换成数字，才便于模型进行运算、比较和搜索。
向量不是随便一串数字，而是有语义结构的数字序列：意思相近的内容会被映射为距离相近的数字。你可以把向量理解成每个词或每句话在「意义地图」上的坐标。只要掌握一点直觉：意思越接近，向量越接近，就能理解向量在 AI 里的核心作用。
演示：选一句话，看「文字 → 向量 → 相似度运算」三步流程，以及意义地图上的位置关系。

1.2 一个生活化的比喻 #

假设只用两个数字描述水果：甜度和脆度。
苹果可能是 (8, 8)——又甜又脆。
梨可能是 (6, 4)——和苹果很接近。
篮球可能是 (1, 1)——既不甜也不脆，和水果差很远。
在这张二维「地图」上，距离近 ≈ 意思近；距离远 ≈ 不相关。这就是向量的核心思想。
演示：试试看，拖动点的位置，感受「距离越近，意思越相近」！

1.3 高维向量是什么 #

真实大模型不会只用 2 个数字，而是用几百甚至上千个数字，称为高维向量。
我们无法「画」出上千维的空间，但数学规则不变：相近仍然表示相似。
维度越多，模型能编码的特征越细（类别、语气、领域、上下文等）。
演示：拖动维度滑块，看 2 维平面图 → 3 维立体 → 高维数字条，相似度计算规则始终不变。

2. 向量从哪来 #

向量不是人手写出来的，而是大模型在海量文本上训练得到的。
理解来源有助于你知道：为什么「国王」和「女王」的向量会比较接近。

2.1 大模型如何学会向量 #

训练时，模型反复做「完形填空」：给前半句，猜下一个词。
例如：今天__很蓝 → 模型要学会填「天空」。
每猜错一次，就微调词的向量坐标，让相关词在空间中更合理。
训练亿万次后，上下文相关的词会自然聚在一起。
演示：触发完形填空训练，看猜错时向量远离、猜对时向量靠近。

3. 相似度度量类型 #

3.1 欧几里得距离 #

欧几里得距离是最直观、最常用的一种相似度度量方法。简单说，它就是两个点之间直线距离。

3.1.1. 核心定义 #

在几何中，欧几里得距离衡量的是两点之间的真实“直线”长度。在AI中，我们把数据点（如图像、文本的数值表示）视为多维空间中的点，用这个距离来判断它们的相似程度。

距离越小，表示两个向量在空间中越接近，即越相似。
距离越大，表示两个向量越疏远，即差异越大。

3.1.2. 数学公式 #

对于两个n维向量 $ A $ 和 $ B $：

二维空间 (点 (x1, y1) 和 (x2, y2))：

$$ d(A,B) = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} $$

这就是我们熟悉的勾股定理求斜边长度。

3.1.3 演示 #

演示：拖动两点、看直角三角形与 Δx/Δy 分步计算，直观理解「距离越小越相似」。

3.1.4 python 代码 #

# 导入numpy库，用于数值计算
import numpy as np

# 定义计算两个向量欧几里得距离的函数
def euclidean_distance(a, b):
    # """多行注释，描述函数功能"""
    """
    计算两个向量的欧几里得距离
    :param a: 一维list或numpy数组
    :param b: 一维list或numpy数组
    :return: 距离（float）
    """
    # 将输入a转换为numpy数组
    a = np.array(a)
    # 将输入b转换为numpy数组
    b = np.array(b)
    # 计算欧几里得距离并返回
    return np.sqrt(np.sum((a - b)**2))

# 示例

# 定义第一个向量
vec1 = [0,0]
# 定义第二个向量
vec2 = [3,4]
# 调用函数计算两个向量的欧几里得距离
distance = euclidean_distance(vec1, vec2)
# 打印欧几里得距离的结果
print(f"欧几里得距离: {distance}")

3.2 余弦相似度 #

余弦相似度衡量的是两个向量方向的夹角，而不是两点之间的直线距离。在语义搜索里，它比欧几里得距离更常用。

3.2.1 核心定义 #

把每个向量看成从原点出发的箭头。余弦相似度看的是两支箭头是否指向同一方向：

接近 1：方向几乎一致，含义很相似。
接近 0：几乎垂直，关系不大。
接近 -1：方向相反。

与欧几里得距离的关键区别：

欧几里得距离看「两点离多远」——向量长度变长，距离也会变。
余弦相似度看「朝哪指」——只拉长或缩短向量，方向不变则相似度不变。

3.2.2 数学公式 #

对于两个 $ n $ 维向量 $ A $ 和 $ B $：

$$ \text{similarity}(A,B) = \cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{|A| \times |B|} $$

其中：

$ A \cdot B $ 是点积（对应位置相乘再求和）。
$ |A| $ 是向量 $ A $ 的长度（模）。

二维情形下，若 $ A=(x_1,y_1) $，$ B=(x_2,y_2) $：

$$ \cos(\theta) = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \times \sqrt{x_2^2+y_2^2}} $$

3.2.3 演示 #

演示：拖动向量端点、观察夹角与点积分步计算；拉长向量长度，看余弦相似度为何不变。

3.2.4 python 代码 #

# 导入numpy库用于数值计算
import numpy as np

# 定义第一个向量
vec1 = np.array([1, 2])
# 定义第二个向量
vec2 = np.array([2, 3])

# 定义计算余弦相似度的函数
def cosine_similarity(a, b):
    # 计算两个向量的点积
    dot_product = np.dot(a, b)
    # 计算第一个向量的范数
    norm_a = np.linalg.norm(a)
    # 计算第二个向量的范数
    norm_b = np.linalg.norm(b)
    # 返回余弦相似度的计算结果
    return dot_product / (norm_a * norm_b)

# 调用余弦相似度函数计算vec1和vec2的相似度
similarity = cosine_similarity(vec1, vec2)
# 打印余弦相似度结果
print(f"余弦相似度: {similarity}")

/ 输出一例结果余弦相似度: 0.992583 /

4. 获取文本向量 #

把指定文本交给 Embedding 模型，拿回一串数字
使用 sentence-transformers 库加载中文 Embedding 模型 BAAI/bge-small-zh-v1.5（体积小、中文效果好）。

4.1 准备环境 #

安装依赖（会自动带上 PyTorch 等运行库）：

uv add sentence-transformers

或：pip install sentence-transformers
首次运行脚本时，会从 HuggingFace 下载模型（约百兆级），请保持网络畅通。
若下载较慢，可先设置国内镜像再运行：

4.2 单条文本转向量 #

核心步骤：加载模型 → 调用 model.encode() → 得到向量。
encode() 返回 numpy 数组，可用 .tolist() 转成 Python 列表。
model.get_sentence_embedding_dimension() 可查看向量维度（bge-small-zh-v1.5 为 512 维）。
encode() 返回 numpy.ndarray；存入 JSON 或数据库时用 .tolist() 转成普通列表。
bge-small-zh-v1.5

# 导入 os，用于设置环境变量
import os
# 从 sentence_transformers 导入 SentenceTransformer
from sentence_transformers import SentenceTransformer

# 加载本地 Embedding 模型（首次运行会自动下载）
model = SentenceTransformer("C:/Users/Administrator/.cache/modelscope/hub/models/BAAI/bge-small-zh-v1.5")

# 指定要转成向量的文本
text = "苹果是一种甜甜的水果"

# 编码为向量（numpy 数组）
vector = model.encode(text)

# 打印文本、向量维度和前 5 个数字
print(f"文本: {text}")
print(f"向量维度: {len(vector)}")
print(f"前 5 维: {vector[:5].tolist()}")

4.3 用拿到的向量算相似度 #

拿到向量后，用第 3 章的余弦相似度比较文本是否相近。

# 导入 numpy 包
import numpy as np

# 导入用于句子嵌入的 SentenceTransformer 模型
from sentence_transformers import SentenceTransformer

# 定义一个计算两个向量之间余弦相似度的函数
def cosine_similarity(a, b):
    # 将输入 a 转为 numpy 数组
    a = np.array(a)
    # 将输入 b 转为 numpy 数组
    b = np.array(b)
    # 计算余弦相似度并返回
    return float(np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)))

# 加载本地保存的中文句嵌入模型
model = SentenceTransformer("C:/Users/Administrator/.cache/modelscope/hub/models/BAAI/bge-small-zh-v1.5")

# 定义第一个要比较的文本
text_a = "我喜欢吃苹果"
# 定义第二个要比较的文本
text_b = "梨是很好吃的水果"
# 定义第三个要比较的文本
text_c = "篮球打起来很过瘾"

# 将三段文本编码为向量
vectors = model.encode(
    [text_a, text_b, text_c]
)
# 获取第一个文本的向量
vec_a, vec_b, vec_c = vectors[0], vectors[1], vectors[2]

# 计算 vec_a 与 vec_b 的余弦相似度
sim_ab = cosine_similarity(vec_a, vec_b)
# 计算 vec_a 与 vec_c 的余弦相似度
sim_ac = cosine_similarity(vec_a, vec_c)

# 打印 text_a 和 text_b 的余弦相似度
print(f"「{text_a}」vs「{text_b}」:", round(sim_ab, 4))
# 打印 text_a 和 text_c 的余弦相似度
print(f"「{text_a}」vs「{text_c}」:", round(sim_ac, 4))

通常「苹果」和「梨」的相似度会明显高于「苹果」和「篮球」，说明向量确实编码了语义。

5. 向量的用途 #

知道「怎么算」「怎么获取」之后，再看应用场景会更容易。
下列场景都遵循同一逻辑：先转向量，再比相似度。

5.1 语义搜索 #

传统关键词搜索：搜「苹果」可能同时出现水果和 iPhone 新闻。
语义搜索：把用户问题和文档都转成向量，找含义最接近的内容。
优点：即使用词不同（如「降雨」和「下雨」），也能匹配到。

5.2 推荐系统 #

把「用户兴趣」和「商品/内容」都表示成向量。
用户向量和某商品向量越近，越可能推荐该商品。
短视频、电商「猜你喜欢」背后都有类似机制。

5.3 检索增强生成 #

大模型有时会「编造」答案，检索增强生成用来缓解这个问题。
流程分三步：
1. 用户提问；
2. 系统先在知识库里做向量检索，找出最相关段落；
3. 把这些段落和问题一起交给大模型，让它「带着资料回答」。
你可以把检索增强生成理解成：先翻参考书，再答题。

5.4 多模态 #

多模态模型可以把「猫的图片」和「一只猫」的文字映射到相近向量。
这样模型就能做「看图说话」「以文搜图」等任务。

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